凹函数和凸函数的性质是对称的，因为假如$f$是凹函数的话，那么$-f$就是凸函数，所以以下性质仅对凹函数的情况进行证明，凸函数的情况只会给出结论
一、凹函数的图像特征
观察凹函数定义式的两端：$\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2} ≥ f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$，对于区间 $D$ 内函数 $f$ 上的任意两点$A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，上式左边就是 $AB$ 中点的纵坐标，而右边，正是 $AB$ 中点横坐标处的函数值，
所以，从直观上来理解，所谓凹函数，就是图像上任意两点的连线，其中点都在中点处函数上的点的上
方.
所以凹函数的图像应当是一条“凹下去”的曲线，类似地，凸函数就是一条“凸上去”的曲线.
二、凹函数的判定
如果要严谨地证明下面的命题，需要一些分析上的准备知识，这部分内容在高中阶段是不做要
求的，并且在直观上十分容易接受，因为是随笔文章，所以就放一些证明了
定理 1 (连续函数介值定理)
设函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) ≠ f(b)$，则对于任何介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的 $\mu$（即$ \mu ∈ (min({f(a), f(b)}), max({f(a), f(b)}))$），存在 $x_0 ∈ (a, b)$，使得 $f(x_0) = \mu$.
证明:
不妨令 $f(a) < \mu < f(b)$，记 $A = {x | f(x) < \mu, x ∈ [a, b]}$，则 $A$ 显然非空且有界，根据确界存在定理，$A$ 有上确界，记为 $m$，因为 $\mu < f(b)$，所以利用连续函数的保不等式性，$m < b$，所以 $m ∈ (a, b)$，而仍由保不等式性可得 $f(m) ≤ \mu$，若 $f(m) < \mu$，则利用连续性，取 $\varepsilon = \frac{\mu − f(m)}{2}$ ，存在 $\delta > 0$，当 $|x − m| < \delta$ 时，有 $|f(x) − f(m)| < \varepsilon$，此时 $f(x) < \mu$，于是与 $m$ 为 $A$ 的上确界矛盾，所以 $f(m) = \mu$.
定理 2 (罗尔（Rolle）定理) 若函数 $f$ 满足下列条件：
(1) $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
(2) $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上可导；
(3) $f(a) = f(b)$.
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = 0$.
定理 B.3 (拉格朗日（Lagrange）中值定理) 若函数 $f$ 满足如下条件：
(1) $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
(2) $f$ 在开区间 $(a, b)$ 上可导.
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = \frac{f(b) − f(a)}{b − a}$
有了以上铺垫，我们就可以证明，对于区间 $D$ 上可导的连续函数 $f$，下列条件是等价的（$x_1, x_2$ 是 $D$ 中任意两点），这些内容也是凹函数的结论：
(1) $f$ 是 $D$ 上的凹函数（$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} ≥ f( \frac{x_1 + x_2}{2} )$ 总成立）；
(2) 对任意的 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ 且 $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，$\lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) ≥ f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2)$ 总成立；
(3) 在 $D$ 上 $f ′ (x)$ 是增函数；
(4) 对于 $D$ 中任意三点 $x_1 < x_2 < x_3$，总有 $\frac{f(x_2) − f(x_1)}{x_2 − x_1} ≤ \frac{f(x_3) − f(x_2)}{x_3 − x_2}$；
(5) 对 $D$ 上任意两点 $x_1, x_2$，有 $f(x_2) ≥ f(x_1) + f ′ (x_1)(x_2 − x_1)$
三、Jensen不等式及其证明
首先先说一下Jensen不等式的内容：
若 $f$ 为 $[a, b]$ 上的凹函数，则对任意的 $x_i ∈ [a, b], \lambda_i > 0(i =1, 2, · · · , n),\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$，有
$f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i) ≤ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$
并且若$f$为$[a,b]$上的凸函数，则对任意的$x_i ∈ [a, b], \lambda_i > 0(i =1, 2, · · · , n),\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$，有
$f(\sum_{i=1}{n} \lambda_i x_i) ≥ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$
下证明此不等式
通过观察可发现不等式在函数凹凸性不同时形式一致，故我们只需要证明凹函数的情况
1.当$n=2$时，即为凹函数定义，显然成立；
2.假设命题对$n$成立，即对任意的$x_1,x_2,x_3,· · ·,x_n ∈ [a,b]$及$\alpha_i > 0(i = 1,2,· · ·n),\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1$都有$f(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i) ≤ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i f(x_i)$
那么，对任意的$x_1,x_2,x_3,· · ·,x_n ∈ [a,b]$及$\lambda_i > 0(i = 1,2,· · ·n),\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$，令$\alpha_i = \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} (i=1,2,· · ·,n)$，则$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i =1$，于是，应用归纳假设可得
$f(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i)=f((1-\lambda_{n+1})\frac{\sum_{j=1}^{n}\lambda_j x_j}{1-\lambda_{n+1}}+\lambda_{n+1}x_{n+1})$
$≤(1-\lambda_{n+1})f(\sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$
$≤(1-\lambda_{n+1})\sum_{j=1}^{n} \alpha_j f(x_j)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1})$
$=\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i f(x_i)$
由此，我们证明了Jensen不等式
