在高联内容里，抽象函数属于较难的一块内容，也都是解答题，分值较大，内容一般与大学数学相关联，所以也是一种检验能力的题目。
例题：函数$f(x)$定义在$\left [ 0,1 \right ]$上，$f ( 0 ) = f ( 1 ) , \forall x_{1} , x_{2} \in \left [ 0,1 \right ](x_{1} \ne x_{2})$，有$\left | f(x_{1}) – f(x_{2}) \right | < \left | x_{1} – x_{2}\right |$，求证：$\left | f(x_{1}) – f(x_{2}) \right | < \frac {1}{2}$
这道题的本质其实是Lipschitz条件
定义如下：
dX は集合 X 上の距離函数、dY は集合 Y 上の距離函数として二つの距離空間 (X, dX) と (Y, dY) が与えられたとき（例えば、Y を実数全体の成す集合 R に距離函数 dY(x, y) = |x − y| を入れたもの、および X を R の部分集合とすることができる）。このとき、写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ≥ 0 が存在して${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}$
を満たすときに言う。このような K, あるいはそのうち最小のものを、関数 f のリプシッツ定数と呼ぶ。K = 1 ととることができるとき、その関数は非拡大写像（英語版）と呼ばれ、K < 1 なら縮小写像と呼ばれる。
この不等式は x1 = x2 のとき（自明な意味で）成り立つ。これを除けば、写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ≥ 0 が存在して、${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}$
を満たすこととすることもできる。実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が K で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き K の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。
写像 f が局所リプシッツ連続であるとは、任意の x ∈ X に対して x の近傍 U を適当に選べば f の U への制限 がリプシッツ連続であるときに言う。あるいは同じことだが、X が局所コンパクト距離空間ならば、f が局所リプシッツであるための必要十分条件は X の任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続となることである。局所コンパクトでないときには、これは必要だが十分でない。
より一般に、X 上で定義された関数 f がヘルダー連続である、または X 上で次数 α > 0 のヘルダー条件を満足するとは、定数 M > 0 が存在して${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<M\,d_{X}(x,y)^{\alpha }\quad (\forall x,y\in X)}$
が成立するときにいう。次数 α > 0 のヘルダー条件を次数 α の一様リプシッツ条件とも呼ぶ。
K ≥ 1 が存在して${\displaystyle {\frac {1}{K}}\,d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})}$
が成り立つならば、f は双リプシッツ連続あるいは単に双リプシッツ (bilipshitz) であると言う。双リプシッツ連続写像は単射であり、また実はその像の上への同相写像である。双リプシッツ連続であることは、その（像の上で定義される）逆写像もリプシッツであるような単射リプシッツ連続写像であることと同じである。全射な双リプシッツ連続写像は、ちょうど距離空間の間の同型写像になる。
这是中文版解释：
对于在实数集的子集的函数${\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } $，若存在常数{\displaystyle K}，使得${\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D}$，则称${\displaystyle f} $符合李普希兹条件，对于${\displaystyle f}$ 最小的常数{\displaystyle K} 称为 ${\displaystyle f}$ 的李普希兹常数。
若${\displaystyle K<1}$，${\displaystyle f}$ 称为收缩映射。
李普希兹条件也可对任意度量空间的函数定义：
给定两个度量空间${\displaystyle (M,d_{M}),(N,d_{N})}$，${\displaystyle U\subseteq M}$。若对于函数${\displaystyle f:U\to N}$，存在常数${\displaystyle K}$ 使得${\displaystyle d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$
则说它符合李普希兹条件。
若存在${\displaystyle K\geq 1}$使得${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U}$
则称${\displaystyle f}$为双李普希兹(bi-Lipschitz)的。
看不懂？放心，我也只看懂表面
好了，回归正题，我们来解这道题
首先，我们分类讨论$\left | x_{1} – x_{2} \right |$和$\frac {1}{2}$的关系
由题，我们分$\left | x_{1} – x_{2} \right | > \frac {1}{2}$和$\left | x_{1} – x_{2} \right | \le \frac {1}{2}$这两种情况
1.$\left | x_{1} – x_{2} \right | \le \frac {1}{2}$时，$\left | f(x_{1}) – f(x_{2}) \right | < \left | x_{1} – x_{2}\right | \le \frac {1}{2}$
2.$\left | x_{1} – x_{2} \right | > \frac {1}{2}$时，则必有$x_{1},x_{2}$一个在$[0,\frac {1}{2})$上，另一个在$(\frac {1}{2},1]$
不妨设$0 \le x_{1} < \frac {1}{2} < x_{2} \le 1$
则有$\left | f(x_{1}) – f(x_{2}) \right | = \left | f(x_{1}) – f(0) + f(1) – f(x_{2}) \right |$
$\le \left| f(x_{1}) – f(0) \right | + \left | f(1) – f(x_{2}) \right|$
$< \left | x_{1} – 0 \right | + \left | 1 – x_{2} \right |$
$= x_{1} + 1 – x_{2} = 1 – (x_{1} – x_{2}) < 1 – \frac {1}{2} = \frac {1}{2}$
综上，有$\left | f(x_{1}) – f(x_{2}) \right | < \frac {1}{2}$，证毕
类似题目：
（2009山东省预赛）证明：定义在$R$上的奇函数$f(x)$能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是$f(x)$的图像有异于点$(0,0)$的对称中心$(a,b)$.（线性函数指形如$y=kx+b$，$k$和$b$可以为任意实数的函数）
